KaTeX 公式测试

本页验证数学公式渲染（客户端懒加载 KaTeX + auto-render）。行内公式用 $...$，块级公式用 $$...$$。

#行内公式

• 质能方程：$E = mc^2$
• 欧拉恒等式：$e^{i\pi} + 1 = 0$
• 黄金比例：$\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$
• 组合数：$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$
• 行内积分：$\int_a^b f(x),dx$

#块级公式

分部积分公式：

$$ \int u,dv = uv - \int v,du $$

正态分布：

$$ f(x \mid \mu, \sigma^2) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{{-\frac{(x-\mu)}2}{2\sigma^2}} $$

傅里叶级数：

$$ f(t) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n \cos\frac{2\pi nt}{T} + b_n \sin\frac{2\pi nt}{T} \right) $$

#矩阵

$$ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$

#分段函数

$$ |x| = \begin{cases} x, & x \ge 0 \ -x, & x < 0 \end{cases} $$

#希腊字母与运算符

$\alpha$ $\beta$ $\gamma$ $\delta$ $\epsilon$ $\lambda$ $\pi$ $\sigma$ $\omega$

$$ \lim_{x \to \infty} \frac{\sin x}{x} = 0, \qquad \prod_{k=1}^{n} k = n! $$

#混合示例（公式 + 文字）

当 $n \to \infty$ 时，$\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \to e$，这就是自然对数的定义之一。